TD4 : Espaces vectoriels (partie 2)

Question de cours : comment montrer qu’un ensemble engendre un espace ?

Vous le savez, la famille \(\{v_1,…,v_n\}\) de vecteurs de l’espace vectoriel \(V\) en est une base si :

• elle engendre \(V\), i.e. \(\mathrm{Vect}\{v_1,…,v_n\}=V\);
• elle est libre.

Souvent, on se demande comment montrer que cette famille engendre \(V\) ? On se retrouve à répondre à cette question par le théorème suivant : si \(V\) est de dimension \(n\), une famille libre de \(n\) vecteurs de \(V\) en est une base, donc en particulier, elle engendre \(V\).

Mais y a-t-il un moyen plus explicite de le vérifier ? Nous allons le montrer avec l’exemple de l’exercice §4.5-22 : montrez que la famille des 4 premiers polynômes de Laguerre engendre bien \(\mathbb{P}_3\), i.e. montrez que tout polynôme de degré \(\leq 3\) peut s’écrire comme une combinaison linéaire de ces polynômes.

Exercices