TD5 : cours 9

Thématiques abordées

• Diagonalisation d’une matrice dans \(\mathbb{R}\)
• Lien entre vecteurs propres, diagonalisation et applications linéaires
• Valeurs et vecteurs propres complexes
• Factorisation des matrices de \(\mathbb{R}^{2\times 2}\) à valeurs propres complexes

Question de cours (examen final, A2024)

Soit \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\). Laquelle des propositions suivantes est équivalente à l’énoncé “\(A\) est diagonalisable” ?

1. Les sous-espaces propres associés à chacune des valeurs propres de \(A\) ont tous la même dimension.
2. \(A\) admet \(n\) valeurs propres distinctes.
3. On peut construire une base de \(\mathbb{R}^n\) à partir de \(n\) vecteurs propres de \(A\).
4. Les valeurs propres de \(A\) sont toutes strictement positives.

Exercices

Nous traiterons également les exercices récapitulatifs du cours 9.