TD5 : Applications linéaires
Questions de cours
Équivalence injectivité \(\Leftrightarrow\) surjectivité pour les endomorphismes linéaires
Soit \(T\) un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\), c’est-à-dire une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^n\). Montrer que \(T\) est surjective si et seulement si (\(\Leftrightarrow\)) \(T\) est injective. Autrement dit, pour une matrice carrée, l’injectivité et la surjectivité de l’application linéaire associée sont 2 notions équivalentes.
L’isomorphisme sauveteur
La semaine passée, nous avons vu que les opérations sur les espaces de polynômes semblaient plus faciles lorsque l’on regarde le polynôme
\[p(t)=a_nt^n+...+a_1t+a_0\in\mathbb{P}_n\]comme le vecteur de \(\mathbb{R}^{n+1}\) regroupant ses coefficients, i.e. :
\[p(t)\to \begin{bmatrix}a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_n\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n+1}.\]Cette astuce est justifiée par l’existence d’une correspondance naturelle entre \(\mathbb{P}_n\) et \(\mathbb{R}^{n+1}\). Cette correspondance s’appelle un isomorphisme.
Considérons l’application \(T : \mathbb{P}_n\to\mathbb{R}^{n+1}\) définie pour tout polynôme \(p(t)=a_nt^n+…+a_1t+a_0\) par :
\[T(p)=\begin{bmatrix}a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_n\end{bmatrix}.\]Montrez que cette application est linéaire et bijective. La propriété de bijectivité fait de \(T\) un isomorphisme entre \(\mathbb{P}_n\) et \(\mathbb{R}^n\).
Exercices
| Section | Routine | Intermédiaire | Approfondi |
|---|---|---|---|
| §1.8. Introduction aux applications linéaires | 4, 8 | 13-16, 18, 24 | |
| §1.9. Matrice d’une application linéaire | 8, 12, 18 | 26, 28, 30 |