TD7 : cours 10 et 11
Thématiques abordées
- Notion d’orthogonalité dans un espace vectoriel
- Sous-espaces orthogonaux
- Complément orthogonal d’un sous-espace
- Familles et bases orthogonales, orthonormées
- Relations d’orthogonalité entre les 4 s.e.v. remarquables liés à une matrice
- Projections orthogonales sur une droite vectorielle
- Projections orthogonales sur des sous-espaces quelconques
- Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt
- Factorisation \(QR\) d’une matrice
Question de cours
À la slide #7 du cours #10, on vous présente l’égalité suivante : si \(u,v\in\mathbb{R}^n\) vérifient \(u\perp v\), alors :
\[\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2=\lVert u+v\rVert^2.\]Cette égalité est la généralisation à \(\mathbb{R}^n\) d’un résultat que vous connaissez déjà depuis longtemps. Lequel ?
Exercices
| Section | Routine | Intermédiaire | Approfondi |
|---|---|---|---|
| 6.1. Produit scalaire, longueurs et orthogonalité | 6, 10, 14 | 19, 25, 26 | 28, 31 |
| 6.2. Familles orthogonales | 2, 10, 12, 14 | 16, 24 | 26, 33 |
| 6.3. Projections orthogonales | 4, 8, 12 | 16, 17 | 23, 24 |
| 6.4. Procédé de Gram-Schmidt | 12, 16 | 18 | 19, 20 |
Nous traiterons également les exercices récapitulatifs des cours 10 et 11.